Распределения, ЦПТ и проверка гипотез
Нужно знать в лицо несколько распределений, уметь по среднему и стандартному отклонению найти вероятность и понимать, что значит «гипотеза не отвергается».
Нормальное распределение
Симметричная «колоколообразная» кривая, которая задаётся средним μ и стандартным отклонением σ. Чтобы посчитать вероятность, переходим к стандартной шкале:
Правило 68–95–99,7: в пределах μ ± 1σ лежит около 68% значений, в пределах ±2σ — около 95%, в пределах ±3σ — около 99,7%.
| z | P(Z < z) | P(Z > z) |
|---|---|---|
| 0 | 0,500 | 0,500 |
| 1 | 0,841 | 0,159 |
| 1,645 | 0,950 | 0,050 |
| 1,96 | 0,975 | 0,025 |
| 2 | 0,977 | 0,023 |
| 3 | 0,9987 | 0,0013 |
Пример
Время на домашнее задание распределено нормально: μ = 40 мин, σ = 12 мин. Вероятность потратить больше 52 минут: z = (52 − 40)/12 = 1, P(Z > 1) ≈ 0,16.
Другие распределения
| Распределение | Когда возникает | Среднее | Дисперсия |
|---|---|---|---|
| Равномерное на [a, b] | любое значение из отрезка равновероятно | (a+b)/2 | (b−a)²/12 |
| Бернулли(p) | одно испытание «да/нет» | p | p(1−p) |
| Биномиальное(n, p) | число успехов в n независимых испытаниях | np | np(1−p) |
| Пуассона(λ) | число редких событий за период | λ | λ |
| Экспоненциальное(λ) | время ожидания до события | 1/λ | 1/λ² |
Центральная предельная теорема
Возьмём много выборок по n наблюдений и посчитаем среднее каждой. Эти средние распределены примерно нормально, даже если исходные данные не нормальные. При этом
Пример
σ = 12 минут, учительница много раз берёт по 36 учеников и усредняет их время. Средние распределены примерно как N(μ = 40, σ = 12/√36 = 2).
Ловушка
Ошибка среднего уменьшается пропорционально √n, а не n. Чтобы она стала вдвое меньше, выборку нужно увеличить вчетверо.
Доверительный интервал
Как это понимать: если много раз повторить исследование, около 95% построенных так интервалов накроют истинное значение.
Проверка гипотез
- H₀ (нулевая гипотеза) — «эффекта нет»: коэффициент равен нулю, доли равны.
- p-value — вероятность получить такие же или более экстремальные данные, если H₀ верна.
- Если p-value меньше уровня значимости α (обычно 5%), H₀ отвергается, и эффект называют статистически значимым.
- Если p-value ≥ α, H₀ не отвергается. Это не доказательство, что эффекта нет: данных просто не хватило, чтобы его увидеть.
Ловушка
p-value — это не «вероятность, что гипотеза верна». И статистически значимый эффект ещё не значит большой: при огромной выборке значимой оказывается даже разница в 0,1%.
Типичная задача
Иногда в условии задачи дают своё правило: «если доли различаются на 1 п. п. и больше, отличие считается значимым». Тогда пользуйтесь именно им и выбирайте «гипотеза отвергается / не отвергается» по этому правилу.
Ещё примеры
Рост распределён как N(170, 10). Какая доля людей выше 190 см?
z = 2, P(Z > 2) ≈ 2,3%.
Время ожидания равновероятно от 10 до 20 минут. Каковы среднее и стандартное отклонение?
Среднее 15. Дисперсия 100/12 ≈ 8,33, стандартное отклонение ≈ 2,89.