Что следует из данных, а что нет
Вопросы «выберите утверждения, которые следуют из информации» встречаются постоянно. Правильный ответ здесь часто такой: «ни одно не следует».
Что значит «следует»
Утверждение следует из условия, если оно верно при любых данных, которые не противоречат условию. «Скорее всего» и «обычно» не считаются.
- Чтобы доказать утверждение, выведите его из условия алгебраически или логически.
- Чтобы опровергнуть, постройте один контрпример: числа, которые подходят под условие, но при которых утверждение ложно.
Пример
В классе мальчиков больше, чем девочек. Пятёрку за контрольную получили 10% всех учеников. Следует ли, что пятёрку получили не более 10% мальчиков?
Контрпример: 6 мальчиков и 4 девочки, пятёрку получил 1 мальчик. Это 10% класса, но 17% мальчиков. Значит, не следует.
Ловушка
Утверждения про покупателей («кто-то купил и кофе, и пирожное») не следуют из данных про товары («кофе продали больше, чем пирожных»). В таблице продаж ничего нет о том, кто что покупал вместе. Если условие про одни объекты, а вывод про другие, ищите контрпример.
Доли и абсолютные числа
- «Среди покупателей больше всего владельцев iPhone» может значить просто, что владельцев iPhone больше всего среди всех жителей.
- Регионы сравнивают по показателям на душу населения или на 1000 человек, а не в штуках.
- Рост с 1% до 2% — это рост на 1 процентный пункт, но на 100 процентов.
Общее среднее — взвешенное
Если группа 1 (размер n₁) имеет среднее m₁, а группа 2 (размер n₂) — среднее m₂, то общее среднее равно
Общее среднее всегда лежит между m₁ и m₂ и ближе к среднему большей группы. Это же верно и для долей: общая доля брака лежит между долями брака двух заводов.
Парадокс Симпсона
Зависимость может быть верна внутри каждой группы и поменять знак при объединении групп. Так бывает, когда группы сильно различаются по размеру и составу.
| Больница | Лёгкие случаи | Тяжёлые случаи | Всего |
|---|---|---|---|
| A | 95 из 100 (95%) | 300 из 400 (75%) | 395 из 500 (79%) |
| B | 360 из 400 (90%) | 70 из 100 (70%) | 430 из 500 (86%) |
Больница A лучше и на лёгких, и на тяжёлых случаях, но в сумме выглядит хуже: к ней чаще попадают тяжёлые пациенты. Сравнивать нужно внутри однородных групп.
Типичная задача
Например: «Средняя зарплата в каждом отделе выросла, а по компании в целом упала. Возможно ли это?» Да, если сместилась структура: например, наняли много новичков с маленькой зарплатой в самый «дешёвый» отдел. Или: «Средняя оценка по каждому предмету выросла, а общая средняя упала». Это тоже возможно, если изменилось число оценок по предметам.
Когда ответ «недостаточно данных»
Выбирайте этот вариант уверенно, если:
- нет базы для сравнения (см. базовую частоту);
- обе выборки смещены, и неизвестно, какая сильнее (см. смещение выборки);
- вывод касается причины, а данные только наблюдательные (см. причинный анализ);
- для каждого варианта ответа строится контрпример.
Ещё примеры
Средний балл 10А — 70, средний балл 10Б — 80. Может ли средний балл по двум классам быть 82?
Нет. Общее среднее — взвешенное, поэтому оно лежит между 70 и 80.
На складе ручек больше, чем тетрадей, а бракованными оказались 1% всех товаров. Следует ли, что бракованных ручек не более 1%?
Нет. Например, 101 ручка и 99 тетрадей, всего 200 товаров. Бракованных — 2 ручки: это ровно 1% всех товаров, но около 2% ручек.